Paket-1_TKA SMA Matematika

Soal 1

Diketahui fungsi \(f(x) = 2x^2 – 4x + 5\). Koordinat titik balik minimum dari grafik fungsi tersebut adalah …
A. (1, 3)
B. (-1, 3)
C. (1, 7)
D. (-1, 7)
E. (2, 5)

Pembahasan
Jawaban: A
Pembahasan:
Untuk fungsi kuadrat \(f(x) = ax^2 + bx + c\), titik balik berada di \(x = -\frac{b}{2a}\)
  • \(a = 2\), \(b = -4\), \(c = 5\)
  • Nilai \(x = -\frac{-4}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1\)
  • Substitusi ke fungsi: \(f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 5 = 2 – 4 + 5 = 3\)
     
    Jadi titik balik minimum adalah (1, 3).
 

Soal 2

Akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 – 5x + 6 = 0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\). Nilai dari \(x_1^2 + x_2^2\) adalah …
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
E. 15
 
Pembahasan
Jawaban: C
Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat \(ax^2 + bx + c = 0\):
    • Jumlah akar: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 5\)

    • Hasil kali akar: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = 6\)

Gunakan identitas:
\(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2 = 5^2 – 2(6) = 25 – 12 = 13\)
 

Soal 3

Nilai dari \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2}\) adalah …
A. 0
B. 2
C. 3
D. 4
E. Tak hingga
 
Pembahasan
Jawaban: D
Pembahasan:
Bentuknya \(\frac{0}{0}\),
jadi faktorkan pembilangnya:
\(x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)\)
 
Maka:
\(\lim_{x \to 2} \frac{(x – 2)(x + 2)}{x – 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4\)

 

Soal 4

Turunan pertama dari fungsi \(f(x) = 3x^4 – 2x^3 + 5x – 7\) adalah …
A. \(f'(x) = 12x^3 – 6x^2 + 5\)
B. \(f'(x) = 12x^3 – 6x^2 – 5\)
C. \(f'(x) = 12x^3 – 2x^2 + 5\)
D. \(f'(x) = 3x^3 – 2x^2 + 5\)
E. \(f'(x) = 12x^3 – 6x^2 + 5x\)
 
Pembahasan
Jawaban: A
Pembahasan:
Gunakan rumus turunan:
\(\frac{d}{dx}(ax^n) = a \cdot n \cdot x^{n-1}\)

  • Turunan \(3x^4 = 3 \times 4x^3 = 12x^3\)
  • Turunan \(-2x^3 = -2 \times 3x^2 = -6x^2\)
  • Turunan \(5x = 5 \times 1x^0 = 5\)
  • Turunan konstanta \(-7 = 0\)
     
    Jadi \(f'(x) = 12x^3 – 6x^2 + 5\)
 

 

Soal 5

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \(2x^2 – 5x – 3 \geq 0\) adalah …
A. \(\{x \mid x \leq -\frac{1}{2} \text{ atau } x \geq 3\}\)
B. \(\{x \mid -\frac{1}{2} \leq x \leq 3\}\)
C. \(\{x \mid x \leq -3 \text{ atau } x \geq \frac{1}{2}\}\)
D. \(\{x \mid -3 \leq x \leq \frac{1}{2}\}\)
E. \(\{x \mid x \geq 3\}\)
 
Pembahasan
Jawaban: A
Pembahasan:
Faktorkan:
\(2x^2 – 5x – 3 = (2x + 1)(x – 3) = 0\)
Akar-akarnya: \(x = -\frac{1}{2}\) dan \(x = 3\)
 
Karena koefisien \(x^2\) bernilai positif, grafik terbuka ke atas. Pertidaksamaan bernilai ≥ 0 di luar interval akar.
 
Jadi penyelesaiannya: \(x \leq -\frac{1}{2}\) atau \(x \geq 3\)

 

Soal 6

Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke-3 adalah 10 dan suku ke-7 adalah 22. Jumlah 10 suku pertama barisan tersebut adalah …
A. 215
B. 225
C. 235
D. 245
E. 255
 
Pembahasan
Jawaban: B
Pembahasan:
Rumus suku ke-n: \(U_n = a + (n-1)b\)
  • \(U_3 = a + 2b = 10\)
  • \(U_7 = a + 6b = 22\)
     
    Kurangkan kedua persamaan:

    4b= 12;  b = 3

    Substitusi ke a + 2(3)= 10; a = 4
     
    Jumlah n suku: \(S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)\)
     
    \(S_{10} = \frac{10}{2}(2 \times 4 + 9 \times 3) = 5(8 + 27) = 5 \times 35 = 225\)
 

 

Soal 7

Diketahui matriks \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\). Nilai determinan matriks A adalah …
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9
 
Pembahasan
Jawaban: C
Pembahasan:
Untuk matriks \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), determinannya \(\det = ad – bc\)
 
\(\det A = (2 \times 4) – (1 \times 3) = 8 – 3 = 5\)?
 
Koreksi hitungan:
\(8 – 3 = 5\) → Jawaban seharusnya A. 5
 

 

Soal 8

Nilai dari \(\sin 150^\circ + \cos 120^\circ\) adalah …
A. -1
B. 0
C. \(\frac{1}{2}\)
D. 1
E. \(\frac{3}{2}\)
 
Pembahasan
Jawaban: B
Pembahasan:
Gunakan nilai sudut istimewa:
  • \(\sin 150^\circ = \sin(180^\circ – 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
  • \(\cos 120^\circ = \cos(180^\circ – 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}\)
     
    Jumlahnya: \(\frac{1}{2} – \frac{1}{2} = 0\)
 

 

Soal 9

Persamaan garis yang melalui titik (2, -3) dan sejajar dengan garis \(2x – y + 4 = 0\) adalah …
A. \(2x – y – 7 = 0\)
B. \(2x + y – 7 = 0\)
C. \(x – 2y – 8 = 0\)
D. \(2x – y + 7 = 0\)
E. \(x + 2y – 8 = 0\)
 
Pembahasan
Jawaban: A
Pembahasan:
Ubah ke bentuk \(y = mx + c\):
 
2x – y + 4 = 0 ; y = 2x + 4, jadi gradien \(m = 2\)
 
Garis sejajar memiliki gradien sama. Rumus garis:
\(y – y_1 = m(x – x_1)\)
\(y – (-3) = 2(x – 2)\)
\(y + 3 = 2x – 4\)
\(2x – y – 7 = 0\)
 
 

 

Soal 10

Sebuah kotak berisi 4 bola merah dan 6 bola biru. Jika diambil 2 bola secara acak tanpa pengembalian, peluang terambilnya kedua bola berwarna merah adalah …
A. \(\frac{2}{15}\)
B. \(\frac{3}{25}\)
C. \(\frac{4}{25}\)
D. \(\frac{2}{5}\)
E. \(\frac{3}{5}\)
 
Pembahasan
Jawaban: A
Pembahasan:
Jumlah seluruh bola = 10
Cara mengambil 2 bola merah dari 4: \(C(4,2) = \frac{4!}{2!2!} = 6\)
Cara mengambil sembarang 2 bola: \(C(10,2) = \frac{10!}{2!8!} = 45\)
Peluang = \(\frac{6}{45} = \frac{2}{15}\)